Аффи́нное преобразование — отображение , которое можно записать в виде

где  — обратимая матрица и .

Иначе говоря, преобразование называется аффинным, если его можно получить следующим образом:

1. Выбрать «новый» базис пространства с «новым» началом координат ;
2. Каждой точке пространства поставить в соответствие точку , имеющую те же координаты относительно «новой» системы координат, что и в «старой».

Свойства

• При аффинном преобразовании прямая переходит в прямую.
  • Если размерность пространства , то любое преобразование пространства (то есть биекция пространства на себя), которое переводит прямые в прямые, является аффинным. Это определение используется в аксиоматическом построении аффинной геометрии
• Аффинные преобразования образуют группу относительно композиции.
• Любые три точки, не лежащие на одной прямой и их образы соответственно (не лежащие на одной прямой) однозначно задают аффинное преобразование плоскости.

Примеры

• Частным случаем аффинных преобразований являются движения и преобразования подобия.

Типы аффинных преобразований

• Эквиаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее площадь (также, сохраняется аффинная длина).
• Центроаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее начало координат.

Матричное представление

Как и другие проективные преобразования, аффинное преобразование можно записать как матрицу перехода в однородных координатах:

Матричное представление используется, в частности, для записи аффинных преобразований в компьютерной графике. Указанная выше форма используется в OpenGL^[1]; в DirectX (где координаты представляются в виде матриц 1×4) она транспонирована^[2].

Вариации и обобщения

• В приведённом выше определении аффинного преобразования можно использовать любое поле, а не только поле вещественных чисел .
• Отображение между метрическими пространствами называется аффинным, если оно переводит геодезические в геодезические (с учётом параметризации).
• Аффинные преобразования пространства являются подмножеством проективных преобразований того же пространства. В свою очередь, проективные преобразования пространства можно представить как аффинные преобразования пространства .

См. также

• Способ «резинового листа»

Примечания