В математической статистике неравенством Краме́ра — Ра́о (в честь Гаральда Крамера и К. Р. Рао) называется неравенство, которое при некоторых условиях на статистическую модель даёт нижнюю границу для дисперсии оценки неизвестного параметра, выражая её через информацию Фишера.

Формулировка

Пусть дана статистическая модель , — выборка размера , определена функция правдоподобия и выполнены следующие условия (условия регулярности):

• и везде дифференцируема по .
• Функция (функция вклада выборки) имеет конечную дисперсию (или, что то же, конечна информация Фишера).
• Для любой статистики с конечным вторым моментом имеет место равенство

.

Пусть при этих условиях дана статистика , которая несмещённо оценивает дифференцируемую функцию . Тогда справедливо следующее неравенство:

• ;
• равенство достигается тогда и только тогда, когда представляется в виде .

Здесь — информация Фишера.

Частный случай

Часто используется следующий частный случай вышеприведённого неравенства, также называемый неравенством Рао-Крамера. Пусть выполнены условия регулярности, а — несмещённая оценка параметра . Тогда

.

Равенство в этом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда .

Применение

Оценка параметра называется эффективной, если для неё неравенство Крамера — Рао обращается в равенство. Таким образом, неравенство может быть использовано для доказательства того, что дисперсия данной оценки наименьшая из возможных, то есть что данная оценка в некотором смысле лучше всех остальных.