Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.

Теория категорий занимает центральное место в современной математике^[1], она также нашла применения в информатике^[2], логике ^[3] и в теоретической физике^{[4][5][уточнить]}. Современное изложение алгебраической геометрии и гомологической алгебры немыслимо без применения теории категорий. Общекатегорные понятия также активно используются в языке функционального программирования Haskell^[6].

Определение

Категория  — это:

• класс объектов ;
• для каждой пары объектов A,B задано множество морфизмов (или стрелок) , причём каждому морфизму соответствует единственные A и B;
• для пары морфизмов и определена композиция ;
• для каждого объекта задан тождественный морфизм ;

причём выполняются две аксиомы:

• операция композиции ассоциативна: и
• тождественный морфизм действует тривиально: для

Замечание: класс объектов обычно не является множеством в смысле аксиоматической теории множеств. Категория, в которой объекты составляют множество, называется малой. Кроме того, в принципе возможно (с небольшим исправлением определения) рассмотрение категорий, в которых морфизмы между любыми двумя объектами также образуют класс, или даже большую структуру^[7].

Примеры категорий

• Set — категория множеств. Объектами в этой категории являются множества, морфизмами — отображения множеств.
• Group — категория групп. Объектами являются группы, морфизмами — отображения, сохраняющие групповую структуру.
• Vect_K — категория векторных пространств над полем K. Морфизмы — линейные отображения.
• Категория модулей.

Аналогично определяются категории для других алгебраических систем.

• Top — категория топологических пространств. Морфизмы — непрерывные отображения.
• Для любого частично упорядоченного множества можно построить малую категорию, объектами которой являются элементы множества, причём между элементами x и y существует единственный морфизм тогда и только тогда, когда x≤y (разумеется, следует отличать эту категорию от категории частично упорядоченных множеств!).

Коммутативные диаграммы

Стандартным способом описания утверждений теории категорий являются коммутативные диаграммы. Коммутативная диаграмма — это ориентированный граф, в вершинах которого находятся объекты, а стрелками являются морфизмы или функторы, причём результат композиции стрелок не зависит от выбранного пути. Например, аксиомы теории категорий можно записать с помощью диаграмм:

Двойственность

Для категории можно определить двойственную категорию , в которой:

• объекты совпадают с объектами исходной категории;
• морфизмы получаются «обращением стрелок»:

Вообще, для любого утверждения теории категорий можно сформулировать двойственное утверждение с помощью обращения стрелок. Часто двойственное явление обозначается тем же термином с приставкой ко- (см. примеры дальше).

Основные определения и свойства

Изоморфизм, эндоморфизм, автоморфизм

Морфизм называется изоморфизмом, если существует такой морфизм , что и . Два объекта, между которыми существует изоморфизм, называются изоморфными. В частности, тождественный морфизм является изоморфизмом, поэтому любой объект изоморфен сам себе.

Морфизмы, в которых начало и конец совпадают, называют эндоморфизмами. Множество эндоморфизмов является моноидом относительно операции композиции с единичным элементом .

Эндоморфизмы, которые одновременно являются изоморфизмами, называются автоморфизмами. Автоморфизмы любого объекта образуют группу автоморфизмов по композиции.

Мономорфизм, эпиморфизм, биморфизм

Мономорфизм — это морфизм такой, что для любых из следует, что . Композиция мономорфизмов есть мономорфизм.

Эпиморфизм — это такой морфизм, что для любых из следует .

Биморфизм — это морфизм, являющийся одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом. Любой изоморфизм есть биморфизм, но не любой биморфизм есть изоморфизм.

Мономорфизм, эпиморфизм и биморфизм являются обобщениями понятий инъективного, сюръективного и биективного отображения соответственно. Любой изоморфизм является мономорфизмом и эпиморфизмом, обратное, вообще говоря, верно не для всех категорий.

Инициальный и терминальный объекты

Инициальный (начальный, универсально отталкивающий) объект категории — это такой объект, из которого существует единственный морфизм в любой другой объект.

Если инициальные объекты в категории существуют, то все они изоморфны.

Двойственным образом определяется терминальный или универсально притягивающий объект — это такой объект, в который существует единственный морфизм из любого другого объекта.

Пример: В категории Set инициальным объектом является пустое множество , терминальным — множество из одного элемента .

Пример: В категории Group инициальный и терминальный объект совпадают — это группа из одного элемента.

Произведение и сумма объектов

Произведение (пары) объектов A и B — это объект с морфизмами и такими, что для любого объекта с морфизмами и существует единственный морфизм такой, что диаграмма справа коммутативна. Морфизмы и называются проекциями.

Дуально определяется прямая сумма или копроизведение объектов и . Соответствующие морфизмы и называются вложениями. Несмотря на своё название, в общем случае они могут и не быть мономорфизмами.

Если произведение и копроизведение существуют, то они определяются однозначно с точностью до изоморфизма.

Пример: В категории Set прямое произведение A и B — это произведение в смысле теории множеств , а прямая сумма — дизъюнктное объединение .

Пример: В категории Ring прямая сумма — это тензорное произведение , а прямое произведение — сумма колец .

Пример: В категории Vect_K (конечные) прямое произведение и прямая сумма изоморфны — это прямая сумма векторных пространств .

Несложно определить аналогичным образом произведение любого семейства объектов . Бесконечные произведения устроены в общем случае гораздо сложнее, чем конечные. Например, в то время как конечные произведения и копроизведения в Vect_K изоморфны прямым суммам, бесконечные произведения и копроизведения не являются изоморфными. Элементами бесконечного произведения являются произвольные бесконечные последовательности элементов , в то время как элементами бесконечного копроизведения являются последовательности, в которых лишь конечное число членов — ненулевые.

Функторы

Функторы — это отображения категорий, сохраняющие структуру. Точнее,

(Ковариантный) функтор ставит в соответствие каждому объекту категории объект категории и каждому морфизму морфизм так, что

• и
• .

Контравариантный функтор, или кофунктор — это функтор из в , то есть «функтор, переворачивающий стрелки».

Некоторые типы категорий

• Моноидальные категории
• Абелевы категории
• Топосы

См. также

• Категория Бэра
• Естественное преобразование
• Предел
• Сопряжённые функторы
• Монады
• Малая категория

Ссылки