Алгебра Валя (или Алгебра Валентины) — неассоциативная алгебра M над полем F, в которой бинарная мультипликативная операция подчиняется следующим аксиомам:
1. Условию антисимметричности:
для всех .
2. Тождеству Валентины:
для всех , где k=1,2,…,6, и
3. Условию билинейности:
для всех и .
Можно сказать, что M является алгеброй Валентины, если коммутант этой алгебры является лиевой подалгеброй. Любая алгебра Ли является алгеброй Валентины.
Билинейная мультипликативная операция в алгебре Валентины, так же как в алгебре Ли, не является ассоциативной операцией.
Существует следующая взаимосвязь между коммутантно-ассоциативной алгеброй и алгеброй Валя. Замена умножения g(A,B) в алгебре M операцией коммутатирования [A,B]=g(A,B)-g(B,A), превращает ее в алгебру . При этом, если M является коммутантно-ассоциативной алгеброй, то будет алгеброй Валя. Алгебра Валя является обобщением алгебры Ли, которая является частным примером алгебры Валентины.
Алгебры Валя могут быть использованы для описания диссипативных и негамильтоновых квантовых систем.
(1) Любая конечная алгебра Валя является касательной алгеброй аналитических локальных коммутантно-ассоциативных луп (луп Валя), аналогично тому как конечные алгебры Ли являются касательными алгебрами аналитических локальных групп (групп Ли). Это утверждение является аналогом соответствия между аналитическими локальными группами (группами Ли) и алгебрами Ли.
(2) Билинейная операция для дифференциальных 1-форм
на симплектическом многообразии, определяемая по правилу
где — 1-форма. Эта билинейная операция на множестве незамкнутых 1-форм задает алгебру Ли.
Если и являются замкнутыми 1-формами, то and
Эта билинейная операция на множестве замкнутых 1-форм задает алгебру Ли.
Эта билинейная операция на множестве незамкнутых дифференциальных 1-форм задает уже не алгебру Ли, а алгебру Валентины, которая не является алгеброй Ли.
Алгебра Валентины.