Аналити́ческая геоме́трия — раздел геометрии, в котором геометрические фигуры и их свойства исследуются средствами алгебры.

В основе этого метода лежит так называемый метод координат, впервые применённый Декартом. Каждому геометрическому соотношению этот метод ставит в соответствие некоторое уравнение, связывающее координаты фигуры или тела.

Историческая справка

Идея координат и уравнения кривой была не чужда ещё древним грекам. Архимед, и особенно Аполлоний Пергский, в своих сочинениях приводили так называемые симптомы конических сечений, которые в ряде случаев совпадают с нашими уравнениями. Однако дальше дело не пошло — из-за невысокого уровня древнегреческой алгебры и слабого интереса к кривым, отличным от прямой и окружности.

В Европе первым использовал координатное изображение (для функции, зависящей от времени) Николай Орезмский (XIV век), который называл координаты, по аналогии с географическими, долготой и широтой. К этому времени развитое понятие о координатах уже существовало в астрономии и географии.

Решающий шаг был сделан после того, как Виет (XVI век) сконструировал символический язык для записи уравнений и положил начало системной алгебре.

Около 1637 года Ферма распространяет через Мерсенна мемуар «Введение в изучение плоских и телесных мест», где выписывает и обсуждает (в символике Виета) уравнения различных кривых 2-го порядка в прямоугольных координатах. Для упрощения вида уравнений широко используется преобразование координат. Ферма наглядно показывает, насколько новый подход проще и плодотворней чисто геометрического. Однако мемуар Ферма широкой известностью не пользовался. Гораздо большее влияние имела «Геометрия» Декарта, вышедшая в том же 1637 году, которая независимо и гораздо более полно развивала те же идеи.

Декарт включает в геометрию более широкий класс кривых, в том числе «механические» (трансцендентные, вроде спирали), и провозглашает, что у каждой кривой есть определяющее уравнение. Он строит такие уравнения для алгебраических кривых, проводит их классификацию (позже основательно переделанную Ньютоном). Декарт подчёркивает, хотя и не доказывает, что основные характеристики кривой не зависят от выбора системы координат.

Система координат у Декарта была перевёрнута по сравнению с современной (ось ординат горизонтальна), и отрицательные координаты не рассматривались. Термины «абсцисса» и «ордината» изредка встречаются у разных авторов, хотя в широкое употребление их ввёл только Лейбниц в конце XVII века, вместе с термином «координаты». Название «Аналитическая геометрия» утвердилось в самом конце XVIII века.

Декарт поместил в «Геометрию» множество примеров, иллюстрирующих огромную мощь нового метода, и получает немало результатов, неизвестных древним. Возможные пространственные применения он упоминает, но не приводит.

Аналитический метод Декарта немедленно взяли на вооружение Схоотен, Валлис и многие другие видные математики. Они комментировали «Геометрию», исправляли её недочёты, применяли новый метод в других задачах. Например, Валлис впервые рассматривает конические сечения как плоские кривые (1655), причём уже использует отрицательные абсциссы и косоугольные координаты.

Ньютон не только опирался на координатный метод в своих работах по анализу, но и продолжил геометрические исследования Декарта. Он классифицировал кривые 3-го порядка, выделив 4 типа и 58 видов; позже он добавил ещё 14. Эти результаты были получены около 1668 года, опубликованы вместе с его «Оптикой» в 1704 году.

Система координат Ньютона уже ничем не отличается от современной. Для каждой кривой определяются диаметр, ось симметрии, вершины, центр, асимптоты, особые точки и т. п.

В «Началах» Ньютон старался всё доказывать в манере древних, без координат и бесконечно малых; однако несколько применений новых методов там всё же имеется. Гораздо бо́льшую роль аналитическая геометрия играет в его «Всеобщей арифметике». В большинстве случаев он не посчитал нужным привести доказательства, чем обеспечил работой на долгие годы целую армию комментаторов.

В первой половине XVIII века в основном продолжалось изучение алгебраических кривых высших порядков; Стирлинг обнаружил 4 новых типа, не замеченных Ньютоном. Были выявлены и классифицированы особые точки.

Клеро в 1729 году представил Парижской академии «Исследования о кривых двоякой кривизны». Эта книга по существу положила начало трем геометрическим дисциплинам: аналитической геометрии в пространстве, дифференциальной геометрии и начертательной геометрии.

Общую и очень содержательную теорию кривых и поверхностей (преимущественно алгебраических) предложил Эйлер. В своём «Введении в анализ бесконечно малых» (1748) он дал классификацию кривых 4-го порядка и показал, как определить радиус кривизны. Там, где это удобно, используются косоугольные или полярные координаты. Отдельная глава посвящена неалгебраическим кривым.

Во второй половине XVIII века аналитическая геометрия, получив мощную поддержку зрелого анализа, завоевала новые вершины (Эйлер, Лагранж, Монж), однако рассматривается уже скорее как аппарат дифференциальной геометрии.

Разделы

Основные разделы аналитической геометрии

• Линейные операции над векторами
• Произведения векторов
• Системы координат
  • Прямоугольная система координат
  • Полярная система координат
• Прямая на плоскости
• Прямая и плоскость в пространстве
• Матрицы и операции над ними
• Определители
• Обратная матрица и ранг матрицы
• Системы линейных алгебраических уравнений
• Кривые второго порядка
  • Окружность
  • Коническое сечение
• Спираль
• Цилиндр
• Поверхности второго порядка
  • Сфера
  • Конус
• Шар

См. также

• Алгебраическая геометрия
• Дифференциальная геометрия
• Линейная алгебра
• Векторное исчисление (базовая)

Литература

• Бортаковский А. С., Пантелеев А. В. Аналитическая геометрия в примерах и задачах: Учеб. пособие. — М.: Высш. шк., 2005. — 496 с. (Серия «Прикладная математика»).
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с.
• История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.

• Том 1 С древнейших времен до начала Нового времени. (1970)
• Том 2 Математика XVII столетия. (1970)
• Том 3 Математика XVIII столетия. (1972)

• Канатников А. Н.,Крищенко А. П. Аналитическая геометрия. — М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. — 388 с. — ISBN 5-7038-1671-8
• Из прошлого аналитической геометрии // Труды института истории естествознании Акад. наук СССР, 1952, т. 4, с. 217-235.
• Погорелов А.В. Аналитическая геометрия. — М., 1978.
• Делоне Б. Н., Райков Д. А. том 1, 2 // Аналитическая геометрия. — М., Л.: Гостехиздат, 1948, 1949.
• Веселов А.П., Троицкий Е.В. Лекции по аналитической геометрии. — СПб.: Лань, 2003. — 160 с.