В математике, гавайская серьга — это топологическое пространство H, соответствующее объединению окружностей на евклидовой плоскости R² с центрами в точках (1/n, 0) и радиусами 1/n (для всех положительных целых n). Пространство H гомеоморфно одноточечной компактификации
Гавайская серьга компактна и может быть снабжена полной метрикой. Она является линейно связным, но не полулокально односвязным[en] пространством.
Гавайская серьга, на первый взгляд, выглядит похоже на букет[en] счётного числа окружностей, однако они не являются гомеоморфными топологическими пространствами. Топология гавайской серьги является более слабой: любая окрестность точки пересечения окружностей содержит все окружности, кроме конечного числа, тогда как для букета существуют окрестности, не содержащие ни одной окружности. Кроме того, букет счётного числа окружностей не является компактом.
Гавайская серьга не однозвязна, так как петля, параметризующая любую из её окружностей, не гомотопна тривиальной. Следовательно, она имеет нетривиальную фундаментальную группу G.
Существует непрерывное отображение из букета счётного числа окружностей в H, оно индуцирует вложение фундаментальной группы букета (свободной группы со счётным числом образующих) в G. Группа G содержит и другие элементы — гомотопические классы петель, не содержащихся ни в в каком конечном подмножестве окружностей гавайской серьги; пример — петля, которая «наматывает» отрезок [2−n, 2−(n−1)] на n-ю окружность.
Кроме того, G вкладывается в проективный предел свободных групп Fn (связывающие отображения из Fn в Fn−1 переводят последнюю образующую в единицу группы). Однако это отображение не является сюръективным; в его образе лежат в точности те элементы обратного предела, в которых каждая из образующих встречается конечное число раз. Пример элемента, не лежащего в образе этого отображения — бесконечный коммутатор .
Группа G несчётна и не является свободной. Хотя её абелизация не имеет простого описания, в G существует нормальная подгруппа N, такая что изоморфна группе Баера — Шпекера. Она называется бесконечной абелизацией или сильной абелизацией G, так как N состоит в точности из тех элементов, каждая координата которых (если думать о G как о подгруппе проективного предела) лежит в коммутанте соответствующей свободной группы. В некотором смысле, об N можно думать как о замыкании коммутанта G.
Гавайская серьга.
