Гипотеза Биля — гипотеза в теории чисел, обобщение великой теоремы Ферма. Предложена в 1993 году техасским миллиардером и математиком-любителем Эндрю Билем, который учредил премию в 100 000 долларов США за её доказательство или опровержение.

Формулировка

Если

где  — натуральные и , то имеют общий простой делитель.

Связь с великой теоремой Ферма

При условии справедливости гипотезы Биля великую теорему Ферма можно доказать от противного:

Пусть существуют натуральные числа n > 2 и A, B, C такие, что , причем C — минимально возможное. Тогда гипотеза Биля для x = y = z = n влечёт, что существует простое число p делящее каждое из чисел A, B и C. Но тогда , что противоречит минимальности выбора C. Полученное противоречие означает, что требуемых натуральных чисел n, A, B, C не существует, то есть, великая теорема Ферма доказана.

Текущее состояние

Гипотеза Биля проверена для случая, когда значения всех шести чисел не превосходят 1000.^[1]

Примечания