Характер кубического вычета — теоретико-числовая функция двух аргументов, являющаяся частным случаем символа степенного вычета. Также является характером в простом поле.

Характер кубического вычета является аналогом символа Лежандра, и для его вычисления используется кубический закон взаимности, являющийся аналогом квадратичного закона взаимности.

Определение

Пусть

кубический корень из единицы.

Рассмотрим D=Z[w] — кольцо целых алгебраических чисел, то есть чисел вида

где a и b — целые числа.

Пусть  — простое в кольце D с нормой . Определим характер кубического вычета следующим образом:

• , если делится на .
• иначе.

Заметим, что при , не делящем , значение характера кубического вычета принимает одно из трёх значений: .

Кубический закон взаимности

Назовём примарным, если оно является простым в D и сравнимо с 2 по модулю 3. Пусть и  — примарные, тогда

Другие свойства характера кубического вычета

• тогда и только тогда, когда сравнение разрешимо в Z[ω], то есть тогда и только тогда, когда  — кубический вычет
• Мультипликативность:
• Периодичность: если , то
• Если  — примарное, то

Список литературы

• Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — Москва: Мир, 1987.

• Franz Lemmermeyer Reciprocity laws: From Euler to Eisenstein. — Springer Verlag, 2000. — ISBN 3-540-66957-4