В математической статистике неравенством Краме́ра — Ра́о (в честь Гаральда Крамера и К. Р. Рао) называется неравенство, которое при некоторых условиях на статистическую модель даёт нижнюю границу для дисперсии оценки неизвестного параметра, выражая её через информацию Фишера.
Пусть дана статистическая модель , — выборка размера , определена функция правдоподобия и выполнены следующие условия (условия регулярности):
Пусть при этих условиях дана статистика , которая несмещённо оценивает дифференцируемую функцию . Тогда справедливо следующее неравенство:
Здесь — информация Фишера.
Часто используется следующий частный случай вышеприведённого неравенства, также называемый неравенством Рао-Крамера. Пусть выполнены условия регулярности, а — несмещённая оценка параметра . Тогда
.
Равенство в этом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда .
Оценка параметра называется эффективной, если для неё неравенство Крамера — Рао обращается в равенство. Таким образом, неравенство может быть использовано для доказательства того, что дисперсия данной оценки наименьшая из возможных, то есть что данная оценка в некотором смысле лучше всех остальных.
Неравенство Крамера — Рао.