Полилине́йная а́лгебра — раздел алгебры, обобщающий понятия линейной алгебры на функции нескольких переменных, линейные по каждому из аргументов.
Основным объектом полилинейной алгебры является полилинейное (-линейное) отображение:
где и – линейные пространства над определённым полем. Условие -линейности означает, строго говоря, что для каждого семейство отображений
зависящее от переменных как от параметров, состоит из линейных отображений. Можно также определить -линейное отображение рекурсивно (по индукции), как линейное отображение из в линейное пространство -линейных отображений.
2-линейное отображение называется билинейным, 3-линейное — трилинейным. Если совпадает с основным полем, то отображение называется полилинейной формой.
Возможно обобщение отображений с линейных пространств (над полями) на модули над кольцами.
Алгебраические формы (однородные многочлены на векторных пространствах, задаваемые однородными многочленами от координат вектора) являются важными объектами изучения в линейной алгебре. Наибольший интерес из них представляют квадратичные формы и билинейные формы, но также изучаются и формы высших степеней, полилинейные формы, поликвадратичные формы, некоторые специальные виды форм (полуторалинейные, эрмитовы). Основными вопросами при изучении алгебраических форм являются законы изменения коэффициентов при линейных преобразованиях (заменах координат), способы приведения к каноническому виду посредством линейных преобразований и взаимопредставление форм.[1]
Квадратичная форма — объект линейной алгебры, фигурирующий во многих разделах математики, в частности, в теории чисел, теории групп (ортогональная группа), дифференциальной геометрии, алгебрах Ли (киллингова форма[en]), определяемый как однородный многочлен второй степени в основном поле от переменных ( — размерность рассматриваемого пространства). Квадратичная форма может быть представлена как матрица , которая (при основном поле характеристики, отличной от 2) является симметрической, а каждой симметрической матрице соответствует квадратичная форма, соответственно, над квадратичными формами вводятся те же операции, что и над матрицами (умножение на скаляр, сложение), квадратичные формы могут быть приведены к каноническому виду — диагональной форме:
(одним из практических способов приведения является метод Лагранжа) и рассматривается как класс эквивалентности всех квадратичных форм, приводимых к диагональной форме с соответствующими коэффициентами, внутри таких классов эквивалентности сохраняются ранг и сигнатура.[2]
Рассмотрение пары линейных форм (однородных многочленов первой степени) как единой функции от двух систем переменных (в терминах линейных пространств — над декартовым произведением двух векторных пространств, в наиболее общем случае — над произведением левого и правого унитарных модулей над одним кольцом с единицей) приводит к понятию билинейной формы (с точки зрения тензорной алгебры, билинейная форма рассматривается как тензор ранга ). Как и квадратичная форма, билинейная может быть выражена матрицей, притом всякая билинейная форма может быть представлена квадратичной:
притом, в случае, когда векторное пространство определено над полем характеристики отличной от 2, взаимно единственным образом[3].
Ввиду особой важности (как для самой линейной алгебры, так и для приложений) наиболее детально изучены свойства симметричных и кососимметричных билинейных форм.
Полилинейная алгебра — статья из Математической энциклопедии. А. Л. Онищик
Полилинейная форма.