Языки Арнольда — в теории динамических систем, области рациональности числа вращения в двупараметрическом семействе гомеоморфизмов окружности, начинающемся (при нулевом значении одного из параметров) с чистых поворотов.

Постановка задачи

Рассмотрим семейство гомеоморфизмов окружности

Для этого семейства, можно рассмотреть функцию , сопоставляющую параметрам число вращения соответствующего гомеоморфизма. Множества точек, в которых она принимает рациональные значения,

и называются языками Арнольда.

Описание поведения

При отображение является поворотом на угол . Соответственно, , и рациональное значение принимается только в соответствующей точке

Напротив, при сколь угодно малом для каждого пересечение с горизонтальным отрезком оказывается отрезком. Это связано с тем, что, как утверждает теорема Пуанкаре, число вращения рационально со знаменателем q тогда и только тогда, когда у отображения имеется неподвижная точка. Соответственно, поскольку семейство при любом фиксированном монотонно по , при увеличении наблюдается последовательность бифуркаций:

• Сначала (на левом краю ) у появляется полуустойчивая периодическая орбита периода точка (или одновременно появляются несколько таких орбит); все точки, не принадлежащие к таким орбитам, стремятся к ним, дрейфуя «по часовой стрелке» (в направлении убывания ).
• Эти орбиты немедленно распадаются на устойчивые и неустойчивые; устойчивые с ростом параметра дрейфуют против, а неустойчивые по часовой стрелке.
• В течение определённого отрезка параметров периодические точки дрейфуют, возможно, происходит рождение новых или уничтожение старых орбит.
• Наконец, в некоторый момент оказывается, что все имевшиеся орбиты слились в одну или несколько полуустойчивых орбит, дрейф в дополнении к которым идёт против часовой стрелки — в положительном направлении. Это и есть правая граница  — при сколь угодно малом дальнейшем увеличении периодические точки периода исчезают (а число вращения, тем самым, строго увеличивается).

Единственное возможное поведение аналитического диффеоморфизма, при котором вышеописанный сценарий не имеет места — это диффеоморфизм конечного порядка: если для некоторого отображение тождественно, то соответствующее состоит из одной точки . Однако, соображения комплексного анализа легко показывают, что для рассматриваемого выше семейства это не происходит.

Подытоживая всё вышесказанное, видим, что множество это своеобразный «язык», «растущий» из точки , и ограниченный двумя непрерывными кривыми.

Также, используя теорему Данжуа и соображения монотонности, несложно увидеть, что для любого иррационального множество это непрерывная кривая, начинающаяся из точки .

Стоит отметить, что (как следует из всего вышесказанного) при любом фиксированном число вращения, как функция параметра , является канторовой лестницей. Однако, в отличие от обычной конструкции канторовой лестницы, канторово множество её точек роста (замыкание множества параметров , соответствующих иррациональным числам вращения) оказывается имеющим положительную меру Лебега.

Ссылки

• А. Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9